گزارشی از کتاب «در ستایش ریاضیات» اثر آلن بدیو
ریاضیات و پیوند عمیق آن با فلسفه
ریاضیات در وسیعترین معنای ممکن احتمالا خودانگیختهترین فعالیت ذهنی بشر است برای توضیح و تفسیر آنچه در جهان خارج میگذرد. اگرچه ریاضیات در طی تکوین خود همواره از هر نظام معرفتی بشر استفاده کرده و میکند، تاریخ ریاضیات بهوضوح مبین این مسئله است که توسعه ریاضیات مبتنی بوده بر تلاش خستگیناپذیر ریاضیدانان برای پاسخ به سؤالاتی که عمدتا در خود ریاضیات مطرح شدهاند. توسعه ریاضیات همواره بر تدقیق مفاهیم پیشین و ارتباط بین آنها و ارائه صورتبندی جدیدی از آنها پیش رفته است. این صورتبندی جدید بر پایه امکانات درونی همین ساختار معرفتی و کاملا «سازگار» با آن ساخته میشود و همینجاست که به صورتی تلویحی -و نه کاملا منطقی- گفته میشود ردپای «خرد خود بنیاد» را علاوه بر فلسفه در ریاضیات نیز میتوان جست. اگر وجه درونماندگاری ریاضیات را در کنار این مسئله درک کنیم که ریاضیات بهعنوان یک نظام معرفتی در ابداع و استخدام انتزاعیترین مفاهیم ذهنی و معقول به لحاظ تاریخی همواره دوشادوش فلسفه بوده، آنگاه چشماندازی وسیعتر و دقیقتر از پیوندهای ناگسستنی بین ریاضیات و فلسفه خواهیم داشت.
آلن بدیو در کتاب «در ستایش ریاضیات» درصدد واکاوی تاریخی - پدیدارشناسانه همین پیوند است. «در ستایش ریاضیات» گفتوگویی است با آلن بدیو، فیلسوف نامآشنای فرانسوی، در باب ریاضیات و نسبت تفکر فلسفی او با آن. بدیو کتاب حاضر را پس از کتابهای «در ستایش عشق» و «در ستایش تئاتر» منتشر میکند. کتاب مشتمل است بر پنج فصل و یک نتیجهگیری کوتاه. در هر فصل یکی از تأملات اساسی بدیو در پیوند با ریاضیات مطرح میشود، تأملاتی فلسفی در باب ریاضیات از چشمانداز فیلسوفی که ریاضیات را بنمایهای برای متافیزیک فلسفی مورد نظر خود قرار میدهد. ایده اصلی کتاب حول این مسئله میگردد که چرا و چگونه ریاضیات در پروژه فکری آلن بدیو که ازقضا هیچ قرابت فکری با سنت فلسفه تحلیلی ندارد، نقشی کلیدی و مرکزی ایفا میکند. بدیو مشخصا در فصول دوم، سوم و چهارم به این سؤال پاسخ میدهد و از همین رو در فصول اول و آخر با دستی بازتر و لحنی ریاضیوارانهتر از ریاضیات سخن میگوید.
بدیو در فصل اول کتاب در قامت یک معلم دلسوز ریاضی ظاهر میشود، تجربه مواجههاش با ریاضیات را با لذتی مثالزدنی توضیح میدهد و در حین توضیحاتش برای فهم فلسفی ایدههای ریاضیاتی یا حتی فهم ریاضیاتی ایدههای فلسفی از همان رویکرد قدیمی و نامآشنای تمام معلمان خوب استفاده میکند؛ یعنی توضیح مفاهیم نهچندان ساده با مثالهایی ملموس. در اینجاست که مخاطب از یک طرف با دانش عمیق بدیو از ریاضیات مواجه میشود و از طرف دیگر به مثالهایی برمیخورد که بهاصطلاح در دکان هر کسی پیدا نمیشود. برای مثال، بدیو در انتهای فصل سوم کتاب برای توضیح یکی از تزهای معروفش درباره ریاضیات و هستیشناسی به بررسی «حد دنبالهها» با استفاده از ابتداییترین مفاهیم میپردازد و سپس برای توسعه مفهوم حد و بیان دقیقتر آن، تمام ایرادهای تعریف قبلی را با چند مثال برمیشمارد و سرانجام در کنار تعریف دقیق حد یک دنباله، مفهوم «دنباله کوشی» را نیز معرفی میکند و با زبانی مثالگونه نشان میدهد هر دنبالهکوشی همگراست، ولی هر دنباله همگرایی الزاما دنبالهکوشی نیست. جالب اینکه مثالهای بدیو برای نشاندادن این تفاوت نه از ریاضیات که از فیزیک هستند و به
پدیدههایی مانند تشدید یا رزونانس اشاره دارند.
در این کتاب، رویکرد بدیو نسبت به فلسفه ریاضیات در مقایسه با فیلسوفان تحلیلی کاملا متفاوت است، رویکردی که عموما فلسفه ریاضیات را به تحلیل فلسفی نظریه مجموعهها فرو میکاهند. عموم ریاضیدانان ریاضیات را بسیار وسیعتر از نظریه مجموعهها میدانند. اگرچه بدیو در هر سه جلد «وجود و رخداد» عملا از بیشتر امکانات نظری «نظریه مجموعهها» برای تبیین فلسفی ایدههایش استفاده میکند، معالوصف نمیتوان رویکرد او به ریاضیات را صرفا در نظریه مجموعهها خلاصه کرد. بدیو در جایجای کتاب از هندسه مسطحه تا نظریه اعداد و حساب دیفرانسیل و انتگرال مثالهایی را در تبیین پیوند ریاضیات و فلسفه مطرح میکند که نشان میدهد او از تمام امکاناتی که ریاضیات در اختیارش گذاشته برای تبیین فلسفهاش استفاده میکند و این امکانات در منطق ریاضی خلاصه نمیشود.
فصل دوم و سوم کتاب که طولانیترین فصول کتاب هستند، به ارتباط تاریخی ارگانیک ریاضیات و فلسفه میپردازند. بدیو در ابتدای فصل دوم با استناد به جمله مشهوری که بر سردر آکادمی افلاطون حکاکی شده بود -«هرکه هندسه نمیداند، وارد نشود»- استدلال میکند ریاضیات و فلسفه درست از همان ابتدای تأسیس باهم بودهاند و داستان رابطه آنها حکایت زوج کهنسالی است که توسعه مفاهیم در هرکدام به تحرک ساختاری در دیگری انجامیده است.
در تمام کتاب لحن ستایشگرانه بدیو از زیباییهای ریاضیات موج میزند. او حتی فرایند حل یک مسئله ریاضی را نیز از منظری زیباییشناسانه میبیند: «من اغلب ریاضیات را با کوهپیمایی مقایسه میکردم: مسیر طولانی است و دشوار، همراه با پیچ وخمهای بسیار و فرازونشیبهایی از مسیرهایی با شیب تند. فکر میکنید به مقصد رسیدهاید اما یک پیچ دیگر باقی است... . عرق میکنید و خم میشوید اما وقتی به قله میرسید، اجر و پاداش آن بهراستی بیهمتا است: آن حیرت ناب، آن زیبایی نهایی ریاضیات، آن زیبایی صعبالوصول و کاملا یکتاست. به همین دلیل من از منظر زیباییشناسانه ریاضیات را میبینم، البته این دیدگاهی باستانی و مسبوقبهسابقه است، چراکه در حقیقت ارسطو ریاضیات را بهعنوان حیطهای منظم در نظر میگرفت که بیش از آنکه با حقیقت سروکار داشته باشد، با امر زیبا سروکار دارد. او میگفت عظمت ریاضیات بیش از آنکه هستیشناسانه یا متافیزیکی باشد، زیباییشناسانه است».
این دیدگاه زیباییشناسانه وقتی با نگاه دقیق فلسفی بدیو ترکیب میشود، کتاب حاضر را بسیار خواندنی میکند؛ کتابی که نه صرفا فلسفی است و نه ریاضیاتی، اما درعینحال هم فلسفی است و هم ریاضیاتی. کتابی فشرده ولی سرشار از بصیرتهای درخشان درباره ریاضیات و پیوند عمیق آن با فلسفه.
ریاضیات در وسیعترین معنای ممکن احتمالا خودانگیختهترین فعالیت ذهنی بشر است برای توضیح و تفسیر آنچه در جهان خارج میگذرد. اگرچه ریاضیات در طی تکوین خود همواره از هر نظام معرفتی بشر استفاده کرده و میکند، تاریخ ریاضیات بهوضوح مبین این مسئله است که توسعه ریاضیات مبتنی بوده بر تلاش خستگیناپذیر ریاضیدانان برای پاسخ به سؤالاتی که عمدتا در خود ریاضیات مطرح شدهاند. توسعه ریاضیات همواره بر تدقیق مفاهیم پیشین و ارتباط بین آنها و ارائه صورتبندی جدیدی از آنها پیش رفته است. این صورتبندی جدید بر پایه امکانات درونی همین ساختار معرفتی و کاملا «سازگار» با آن ساخته میشود و همینجاست که به صورتی تلویحی -و نه کاملا منطقی- گفته میشود ردپای «خرد خود بنیاد» را علاوه بر فلسفه در ریاضیات نیز میتوان جست. اگر وجه درونماندگاری ریاضیات را در کنار این مسئله درک کنیم که ریاضیات بهعنوان یک نظام معرفتی در ابداع و استخدام انتزاعیترین مفاهیم ذهنی و معقول به لحاظ تاریخی همواره دوشادوش فلسفه بوده، آنگاه چشماندازی وسیعتر و دقیقتر از پیوندهای ناگسستنی بین ریاضیات و فلسفه خواهیم داشت.
آلن بدیو در کتاب «در ستایش ریاضیات» درصدد واکاوی تاریخی - پدیدارشناسانه همین پیوند است. «در ستایش ریاضیات» گفتوگویی است با آلن بدیو، فیلسوف نامآشنای فرانسوی، در باب ریاضیات و نسبت تفکر فلسفی او با آن. بدیو کتاب حاضر را پس از کتابهای «در ستایش عشق» و «در ستایش تئاتر» منتشر میکند. کتاب مشتمل است بر پنج فصل و یک نتیجهگیری کوتاه. در هر فصل یکی از تأملات اساسی بدیو در پیوند با ریاضیات مطرح میشود، تأملاتی فلسفی در باب ریاضیات از چشمانداز فیلسوفی که ریاضیات را بنمایهای برای متافیزیک فلسفی مورد نظر خود قرار میدهد. ایده اصلی کتاب حول این مسئله میگردد که چرا و چگونه ریاضیات در پروژه فکری آلن بدیو که ازقضا هیچ قرابت فکری با سنت فلسفه تحلیلی ندارد، نقشی کلیدی و مرکزی ایفا میکند. بدیو مشخصا در فصول دوم، سوم و چهارم به این سؤال پاسخ میدهد و از همین رو در فصول اول و آخر با دستی بازتر و لحنی ریاضیوارانهتر از ریاضیات سخن میگوید.
بدیو در فصل اول کتاب در قامت یک معلم دلسوز ریاضی ظاهر میشود، تجربه مواجههاش با ریاضیات را با لذتی مثالزدنی توضیح میدهد و در حین توضیحاتش برای فهم فلسفی ایدههای ریاضیاتی یا حتی فهم ریاضیاتی ایدههای فلسفی از همان رویکرد قدیمی و نامآشنای تمام معلمان خوب استفاده میکند؛ یعنی توضیح مفاهیم نهچندان ساده با مثالهایی ملموس. در اینجاست که مخاطب از یک طرف با دانش عمیق بدیو از ریاضیات مواجه میشود و از طرف دیگر به مثالهایی برمیخورد که بهاصطلاح در دکان هر کسی پیدا نمیشود. برای مثال، بدیو در انتهای فصل سوم کتاب برای توضیح یکی از تزهای معروفش درباره ریاضیات و هستیشناسی به بررسی «حد دنبالهها» با استفاده از ابتداییترین مفاهیم میپردازد و سپس برای توسعه مفهوم حد و بیان دقیقتر آن، تمام ایرادهای تعریف قبلی را با چند مثال برمیشمارد و سرانجام در کنار تعریف دقیق حد یک دنباله، مفهوم «دنباله کوشی» را نیز معرفی میکند و با زبانی مثالگونه نشان میدهد هر دنبالهکوشی همگراست، ولی هر دنباله همگرایی الزاما دنبالهکوشی نیست. جالب اینکه مثالهای بدیو برای نشاندادن این تفاوت نه از ریاضیات که از فیزیک هستند و به
پدیدههایی مانند تشدید یا رزونانس اشاره دارند.
در این کتاب، رویکرد بدیو نسبت به فلسفه ریاضیات در مقایسه با فیلسوفان تحلیلی کاملا متفاوت است، رویکردی که عموما فلسفه ریاضیات را به تحلیل فلسفی نظریه مجموعهها فرو میکاهند. عموم ریاضیدانان ریاضیات را بسیار وسیعتر از نظریه مجموعهها میدانند. اگرچه بدیو در هر سه جلد «وجود و رخداد» عملا از بیشتر امکانات نظری «نظریه مجموعهها» برای تبیین فلسفی ایدههایش استفاده میکند، معالوصف نمیتوان رویکرد او به ریاضیات را صرفا در نظریه مجموعهها خلاصه کرد. بدیو در جایجای کتاب از هندسه مسطحه تا نظریه اعداد و حساب دیفرانسیل و انتگرال مثالهایی را در تبیین پیوند ریاضیات و فلسفه مطرح میکند که نشان میدهد او از تمام امکاناتی که ریاضیات در اختیارش گذاشته برای تبیین فلسفهاش استفاده میکند و این امکانات در منطق ریاضی خلاصه نمیشود.
فصل دوم و سوم کتاب که طولانیترین فصول کتاب هستند، به ارتباط تاریخی ارگانیک ریاضیات و فلسفه میپردازند. بدیو در ابتدای فصل دوم با استناد به جمله مشهوری که بر سردر آکادمی افلاطون حکاکی شده بود -«هرکه هندسه نمیداند، وارد نشود»- استدلال میکند ریاضیات و فلسفه درست از همان ابتدای تأسیس باهم بودهاند و داستان رابطه آنها حکایت زوج کهنسالی است که توسعه مفاهیم در هرکدام به تحرک ساختاری در دیگری انجامیده است.
در تمام کتاب لحن ستایشگرانه بدیو از زیباییهای ریاضیات موج میزند. او حتی فرایند حل یک مسئله ریاضی را نیز از منظری زیباییشناسانه میبیند: «من اغلب ریاضیات را با کوهپیمایی مقایسه میکردم: مسیر طولانی است و دشوار، همراه با پیچ وخمهای بسیار و فرازونشیبهایی از مسیرهایی با شیب تند. فکر میکنید به مقصد رسیدهاید اما یک پیچ دیگر باقی است... . عرق میکنید و خم میشوید اما وقتی به قله میرسید، اجر و پاداش آن بهراستی بیهمتا است: آن حیرت ناب، آن زیبایی نهایی ریاضیات، آن زیبایی صعبالوصول و کاملا یکتاست. به همین دلیل من از منظر زیباییشناسانه ریاضیات را میبینم، البته این دیدگاهی باستانی و مسبوقبهسابقه است، چراکه در حقیقت ارسطو ریاضیات را بهعنوان حیطهای منظم در نظر میگرفت که بیش از آنکه با حقیقت سروکار داشته باشد، با امر زیبا سروکار دارد. او میگفت عظمت ریاضیات بیش از آنکه هستیشناسانه یا متافیزیکی باشد، زیباییشناسانه است».
این دیدگاه زیباییشناسانه وقتی با نگاه دقیق فلسفی بدیو ترکیب میشود، کتاب حاضر را بسیار خواندنی میکند؛ کتابی که نه صرفا فلسفی است و نه ریاضیاتی، اما درعینحال هم فلسفی است و هم ریاضیاتی. کتابی فشرده ولی سرشار از بصیرتهای درخشان درباره ریاضیات و پیوند عمیق آن با فلسفه.