هنر تفکر ریاضی
کار ریاضی‌دانان همراه است با تخیل عقل و شور منطقی. شبیه به کار آنان را می‌توان در یک شعر یا یک انقلاب راستین دید. بی‌شک کرت گودل بهترین مثال برای درک این مسئله است. نبوغ و شخصیت کافکایی کم‌نظیر او بیش از هر چیز در دو قضیه‌ای بازتاب یافت که سرنوشت ریاضیات و منطق را در قرن بیستم تغییر داد. گودل «قضایای ناتمامیت» را در سال 1931 و در 25سالگی به اثبات رساند. او در این قضایا نشان داد حکم صادقی وجود دارد که اثباتناپذیری آن دقیقا از صدق آن ناشی می‌شود، به بیان دیگر، حکم صادقی وجود دارد که با استفاده از قاعده‌های این نظام اثبات آن امکان‌پذیر نیست. «قضایای ناتمامیت» دیگر به ریاضی‌دانان اجازه نمی‌داد که به راحتی بگویند چیزی صادق است. قضایای گودل باور گسترده‌ای که ریاضیات را نظامی همساز و کامل و بر پایه یک تک‌بنیاد منطقی می‌دانست، واژگون کرد. این واژگونی به سرعت از فلسفه تا سیاست را دربر گرفت. اما درک این قضایا چندان هم ساده نبود. تقریبا یکی، دو دهه پس از انتشار مقاله انقلابی گودل کم‌کم روشن شد که نیاز به آثاری هست که بتوانند ایده‌های اصلی و نتایج پردامنه قضایای گودل را برای مخاطبان علم منطق و ریاضیات و کامپیوتر
آسان‌فهم کنند. از اولین آثاری که منتشر شد می‌توان به کتاب «اثبات گودل» (۱۹۸۵) اثر ارنست نیگل، از اعضای جنبش پوزیتیویسم منطقی، اشاره کرد که شرحی قابل فهم درباره قضایای گودل ارائه می‌کرد. «اثبات گودل» را یکی از بهترین مدخل‌های شناخت قضایای گودل می‌دانند. این اثر را رضا امیررحیمی در کتاب « قضیه گودل» (انتشارات نیلوفر) ترجمه کرده است. فصل اول «قضیه گودل» به این اثر اختصاص دارد. اما قضیه گودل چیست یا به بیانی دیگر درباره چیست؟
مشخصه اصلی فضای ریاضیات در زمانه گودل، شور و شوق برای صوری‌کردن بود. مخاطبان متقاعد شده بودند که می‌توان به‌وسیله قوانین محض دستکاری نماد به تفکر ریاضی رسید. به این صورت که با مجموعه ثابتی از اصل‌ها و مجموعه ثابتی از قاعده‌های مربوط به چیدن حرف‌ها می‌توان نمادها را جابه‌جا کرد و رشته‌های جدیدی از نمادها به‌وجود آورد که «قضیه» نامیده می‌شود. اوج این جنبش را می‌توان در کتاب سه‌جلدی ماندگار برتراند راسل و آلفرد نورث وایتهد به نام «پرینکیپیا ماتماتیکا» (مبادی ریاضیات) دید. آنها می‌گفتند که در این اثر ریاضیات را بر منطق محض پایه‌گذاری کرده‌اند و اثر آنها برای همیشه بنیادی استوار برای تمامی ریاضیات ساخته است. سال‌ها «پرینکیپیا ماتماتیکا» دست بالا را داشت. تا اینکه یکی، دو دهه بعد گودل نسبت به این تصور اصیل شک کرد. او در مطالعه الگوهای نمادها در این کتاب متوجه شد این الگوها بسیار شبیه به الگوهای عددی هستند و او می‌تواند هر نماد را با یک عدد جایگزین کند و تمام «پرینکیپیا ماتماتیکا» را نه به مانند جابه‌جایی نمادها بلکه همچون محاسبه سریع اعداد از نو بفهمد. این کار او سرانجام غیرمنتظره‌ای داشت. چون برای گودل یادآور
پارادوکس قدیمی اپیمنیدس یا پارادوکس دروغگو (پارادوکس خودارجاعی) بود. قدمت این پارادوکس به یونان باستان می‌رسد. در واقع، اثبات قضیه گودل با ورود پارادوکس دروغگو به قلب اصول ریاضیات صورت گرفت. اپیمنیدس از اهالی کرت بود که می‌گفت «همه کرتی‌ها دروغگو هستند». اگر او راست می‌گفت پس دروغ گفته بود و اگر گفته او دروغ بود، پس درست گفته بود. فرم این پارادوکس به این شکل صورت‌بندی می‌شود: «این جمله غلط است»، اگر این جمله درست باشد پس باید غلط باشد و اگر غلط است پس باید درست باشد. گودل در مواجهه با همین پارادوکس بود که نتیجه گرفت می‌تواند یک صورت‌بندی از «پرینکیپیا ماتماتیکا» ارائه دهد. کار گودل تهدیدی بزرگ بود برای آنچه راسل و وایتهد بنا کرده بودند. آنها بر این باور بودند که با حذف مطلق دور باطل، نبرد را با پیروزی به پایان رسانده‌اند. در حالی‌که به نظر می‌رسید دورهای باطل از در پشتی به دنیای بکر آنها وارد شده است.
گودل اثبات کرد صورت‌بندی‌اش مثل یک پارادوکس است، اما به شکلی ظریف با آن تفاوت دارد. او نشان داد حکم صادقی وجود دارد که با استفاده از قاعده‌های این نظام اثبات آن امکان‌پذیر نیست. به عبارت دیگر حکم صادقی وجود دارد که اثباتناپذیری آن دقیقا از صدق آن ناشی می‌شود. او با این شیوه نه تنها دژ راسل و وایتهد را سرنگون کرد، بلکه این قضیه را در مورد هر نظامی هم که بخواهد به اهداف آنها برسد صادق دانست. در واقع، گودل کسانی را که باور داشتند اندیشه ریاضی را می‌توان به انقیاد صلابت نظام‌های اصل‌بنیاد درآورد ناامید کرد و همه را، از ریاضی‌دانان تا فیلسوفان، مجبور کرد درباره این ورطه اسرارآمیز و نویافته که به نحوی برگشت‌ناپذیر اثبات‌پذیری را از صدق جدا می‌کرد، بیندیشند. در نتیجه اثبات قضیه ناتمامیت گودل، هر نظام صوری با اصل موضوع ریاضیات که به اندازه کافی مستدل و قوی است، باید مشتمل بر گزاره‌ای «تصمیم‌ناپذیر» باشد: یعنی گزاره‌ای که خودش و نقیض آن هیچ‌یک قابل اثبات نیست. پس از گودل تصور از ریاضیات و اساس «صدق» تغییر کرد. پس از گودل روشن شد که هنر تفکر ریاضی را نمی‌توان با ماشینی‌کردن تفکر ریاضی یکی کرد.
کار ریاضی‌دانان همراه است با تخیل عقل و شور منطقی. شبیه به کار آنان را می‌توان در یک شعر یا یک انقلاب راستین دید. بی‌شک کرت گودل بهترین مثال برای درک این مسئله است. نبوغ و شخصیت کافکایی کم‌نظیر او بیش از هر چیز در دو قضیه‌ای بازتاب یافت که سرنوشت ریاضیات و منطق را در قرن بیستم تغییر داد. گودل «قضایای ناتمامیت» را در سال 1931 و در 25سالگی به اثبات رساند. او در این قضایا نشان داد حکم صادقی وجود دارد که اثباتناپذیری آن دقیقا از صدق آن ناشی می‌شود، به بیان دیگر، حکم صادقی وجود دارد که با استفاده از قاعده‌های این نظام اثبات آن امکان‌پذیر نیست. «قضایای ناتمامیت» دیگر به ریاضی‌دانان اجازه نمی‌داد که به راحتی بگویند چیزی صادق است. قضایای گودل باور گسترده‌ای که ریاضیات را نظامی همساز و کامل و بر پایه یک تک‌بنیاد منطقی می‌دانست، واژگون کرد. این واژگونی به سرعت از فلسفه تا سیاست را دربر گرفت. اما درک این قضایا چندان هم ساده نبود. تقریبا یکی، دو دهه پس از انتشار مقاله انقلابی گودل کم‌کم روشن شد که نیاز به آثاری هست که بتوانند ایده‌های اصلی و نتایج پردامنه قضایای گودل را برای مخاطبان علم منطق و ریاضیات و کامپیوتر
آسان‌فهم کنند. از اولین آثاری که منتشر شد می‌توان به کتاب «اثبات گودل» (۱۹۸۵) اثر ارنست نیگل، از اعضای جنبش پوزیتیویسم منطقی، اشاره کرد که شرحی قابل فهم درباره قضایای گودل ارائه می‌کرد. «اثبات گودل» را یکی از بهترین مدخل‌های شناخت قضایای گودل می‌دانند. این اثر را رضا امیررحیمی در کتاب « قضیه گودل» (انتشارات نیلوفر) ترجمه کرده است. فصل اول «قضیه گودل» به این اثر اختصاص دارد. اما قضیه گودل چیست یا به بیانی دیگر درباره چیست؟
مشخصه اصلی فضای ریاضیات در زمانه گودل، شور و شوق برای صوری‌کردن بود. مخاطبان متقاعد شده بودند که می‌توان به‌وسیله قوانین محض دستکاری نماد به تفکر ریاضی رسید. به این صورت که با مجموعه ثابتی از اصل‌ها و مجموعه ثابتی از قاعده‌های مربوط به چیدن حرف‌ها می‌توان نمادها را جابه‌جا کرد و رشته‌های جدیدی از نمادها به‌وجود آورد که «قضیه» نامیده می‌شود. اوج این جنبش را می‌توان در کتاب سه‌جلدی ماندگار برتراند راسل و آلفرد نورث وایتهد به نام «پرینکیپیا ماتماتیکا» (مبادی ریاضیات) دید. آنها می‌گفتند که در این اثر ریاضیات را بر منطق محض پایه‌گذاری کرده‌اند و اثر آنها برای همیشه بنیادی استوار برای تمامی ریاضیات ساخته است. سال‌ها «پرینکیپیا ماتماتیکا» دست بالا را داشت. تا اینکه یکی، دو دهه بعد گودل نسبت به این تصور اصیل شک کرد. او در مطالعه الگوهای نمادها در این کتاب متوجه شد این الگوها بسیار شبیه به الگوهای عددی هستند و او می‌تواند هر نماد را با یک عدد جایگزین کند و تمام «پرینکیپیا ماتماتیکا» را نه به مانند جابه‌جایی نمادها بلکه همچون محاسبه سریع اعداد از نو بفهمد. این کار او سرانجام غیرمنتظره‌ای داشت. چون برای گودل یادآور
پارادوکس قدیمی اپیمنیدس یا پارادوکس دروغگو (پارادوکس خودارجاعی) بود. قدمت این پارادوکس به یونان باستان می‌رسد. در واقع، اثبات قضیه گودل با ورود پارادوکس دروغگو به قلب اصول ریاضیات صورت گرفت. اپیمنیدس از اهالی کرت بود که می‌گفت «همه کرتی‌ها دروغگو هستند». اگر او راست می‌گفت پس دروغ گفته بود و اگر گفته او دروغ بود، پس درست گفته بود. فرم این پارادوکس به این شکل صورت‌بندی می‌شود: «این جمله غلط است»، اگر این جمله درست باشد پس باید غلط باشد و اگر غلط است پس باید درست باشد. گودل در مواجهه با همین پارادوکس بود که نتیجه گرفت می‌تواند یک صورت‌بندی از «پرینکیپیا ماتماتیکا» ارائه دهد. کار گودل تهدیدی بزرگ بود برای آنچه راسل و وایتهد بنا کرده بودند. آنها بر این باور بودند که با حذف مطلق دور باطل، نبرد را با پیروزی به پایان رسانده‌اند. در حالی‌که به نظر می‌رسید دورهای باطل از در پشتی به دنیای بکر آنها وارد شده است.
گودل اثبات کرد صورت‌بندی‌اش مثل یک پارادوکس است، اما به شکلی ظریف با آن تفاوت دارد. او نشان داد حکم صادقی وجود دارد که با استفاده از قاعده‌های این نظام اثبات آن امکان‌پذیر نیست. به عبارت دیگر حکم صادقی وجود دارد که اثباتناپذیری آن دقیقا از صدق آن ناشی می‌شود. او با این شیوه نه تنها دژ راسل و وایتهد را سرنگون کرد، بلکه این قضیه را در مورد هر نظامی هم که بخواهد به اهداف آنها برسد صادق دانست. در واقع، گودل کسانی را که باور داشتند اندیشه ریاضی را می‌توان به انقیاد صلابت نظام‌های اصل‌بنیاد درآورد ناامید کرد و همه را، از ریاضی‌دانان تا فیلسوفان، مجبور کرد درباره این ورطه اسرارآمیز و نویافته که به نحوی برگشت‌ناپذیر اثبات‌پذیری را از صدق جدا می‌کرد، بیندیشند. در نتیجه اثبات قضیه ناتمامیت گودل، هر نظام صوری با اصل موضوع ریاضیات که به اندازه کافی مستدل و قوی است، باید مشتمل بر گزاره‌ای «تصمیم‌ناپذیر» باشد: یعنی گزاره‌ای که خودش و نقیض آن هیچ‌یک قابل اثبات نیست. پس از گودل تصور از ریاضیات و اساس «صدق» تغییر کرد. پس از گودل روشن شد که هنر تفکر ریاضی را نمی‌توان با ماشینی‌کردن تفکر ریاضی یکی کرد.