خاستگاه امر تصمیم‌ناپذیر
تخیل عقل یا دقیق‌تر شور منطقی عنصر اصلی کار ریاضیدانان است. کار آنان همان چیزی است که در یک شعر یا انقلاب راستین رخ می‌دهد. کورت گودل بی‌تردید یکی از آنهاست که نبوغ و البته شخصیت کافکایی‌اش با اثبات دو قضیه پرآوازه‌اش سرنوشت ریاضیات و منطق را در قرن بیستم تغییر داد. در سال‌های اولیه انتشار مقاله تاریخی او تنها معدودی از نابغه‌های هم‌نسلش از جمله فون نویمن و تورینگ ارزش و اهمیت آن را درک کردند اما امروزه دیگر قضایای او فاکت‌هایی کاملا پذیرفته‌شده است. پیامدهای فلسفی اثر او در طیف وسیعی از رشته‌ها از فلسفه ذهن گرفته تا هوش مصنوعی همچنان محل بحث و مناقشه است. تقریبا یکی دو دهه پس از انتشار مقاله انقلابی گودل کم‌کم مشخص شد به آثاری نیاز است که بتواند ایده‌های اصلی و نتایج پردامنه قضیه‌های گودل را برای مخاطبان علم منطق و ریاضیات تبیین کند. کتاب «اثبات گودل» (1985) از نخستین آثاری بود که شرح قابل‌فهمی دراین‌باره ارائه می‌کرد. این کتاب بخش اول از کتاب «قضیه گودل» است که به زبانی تا جای ممکن آسان‌فهم، قضیه «ناتمامیت گودل» را توضیح می‌دهد. بخش دوم این کتاب نیز حاوی چهار مقاله درباره شخصیت و زندگی گودل، دوستی او با اینشتین، قضیه ناتمامیت و خدمات علمی اوست که در قرن جدید و برای مخاطبانی عام نوشته شده‌اند. این کتاب مهمی است، از این باب که اگرچه مقاله تاریخی گودل مهم‌ترین اثر اوست، خدمات علمی گودل منحصر به آن نیست، چون قضایای گودل محدودیت‌های بنیادینی بر ریاضیات گذاشت و ضربه‌ای مهلک بر دنیای ریاضی و علوم وابسته به آن وارد کرد. قضایای او باور گسترده‌ای را واژگون کرد که ریاضیات را نظامی همساز و کامل بر پایه یک تک‌بنیاد منطقی می‌دانست. این واژگونی به سرعت از فلسفه تا سیاست را دربر گرفت. آنچه این روزها با عنوان امر تصمیم‌ناپذیر در ساحت سیاست مطرح می‌شود، برگرفته از همین نظریه است. ازاین‌رو، نخست باید نشان داد قضیه گودل چیست یا به عبارت بهتر درباره چیست؟ گودل در فضای ریاضیات عصر خود غرق بود که مشخصه اصلی آن شور و شوق برای صوری‌کردن بود. مردم متقاعد شده بودند که می‌توان از طریق قوانین محض دستکاری نماد به تفکر ریاضی دست یافت. اوج این جنبش را می‌توان در سه‌جلدی ماندگار راسل و وایتهد به نام «پرینکیپیا ماتماتیکا» (مبادی ریاضیات) دید. آنها بر این باور بودند که ریاضیات را بر منطق محض پایه‌گذاری کرده‌اند و اثر آنها برای همیشه بنیادی استوار برای تمامی ریاضیات ساخته است. یکی، دو دهه بعد گودل به این تصور اصیل شک کرد. او در مطالعه الگوهای نمادها در این سه‌جلدی متوجه شد که این الگوها بسیار شبیه به الگوهای عددی هستند و او می‌تواند هر نماد را با یک عدد جایگزین کند و تمام «پرینکیپیا ماتماتیکا» را نه به‌مانند جابه‌جایی نمادها بلکه همچون محاسبه سریع اعداد از نو بفهمد. این پیچش موضوع، سرانجام غیرمنتظره‌ای داشت. چون در نظر گودل یادآور پارادوکس قدیمی خودارجاعی بود، یا همان گزاره «این حکم نادرست است». پارادوکسی که قدمت آن به یونان باستان و به مواجهه مخالفان سقراط با او در تبیین علم منطق به‌عنوان روشی برای فکرکردن درباره حقیقت بازمی‌گردد. فرم این پارادوکس به این شکل صورت‌بندی می‌شود: «این جمله غلط است»؛ اگر این جمله درست باشد پس باید غلط باشد و اگر غلط است پس باید درست باشد. گودل در مواجهه با همین پارادوکس‌ها بود که نتیجه گرفت می‌تواند از اساس یک صورت‌بندی از «پرینکیپیا ماتماتیکا» ارائه دهد که به شکل غیرمعقولی درباره خودش گفته باشد: «این صورت‌بندی از طریق قاعده‌های پرینکیپیا ماتماتیکا اثبات‌ناپذیر است». صرف‌نظر از چنین صورت‌بندی غریبی، بنای راسل و وایتهد کاملا تهدید شده بود. چون هدف آنها حذف مطلق دور باطل بود و باور داشتند که نبرد را با پیروزی به پایان رسانده‌اند. حال آنکه به نظر می‌رسید دورهای باطل از در پشتی به دنیای بکر آنها وارد شده است. اما صورت‌بندی ویرانگر گودلی باید حل می‌شد و او با نبوغ خود این کار را به انجام رساند. او اثبات کرد اگرچه صورت‌بندی‌اش همچون یک پارادوکس است، اما به شکل ظریفی با آن تفاوت دارد. او نشان داد حکم صادقی وجود دارد که با استفاده از قاعده‌های این نظام اثبات آن امکان‌پذیر نیست. به عبارت دیگر حکم صادقی که اثبات‌‌ناپذیری آن دقیقا از صدق آن ناشی می‌شود. او با این شیوه نه‌تنها دژ راسل و وایتهد را ویران کرد، بلکه می‌توان این قضیه را درباره هر نظامی که تلاش کند به اهداف آنها دست یابد نیز صادق دانست. در حقیقت، گودل امید آنانی را ناامید کرد که باور داشتند اندیشه ریاضی را می‌توان به انقیاد صلابت نظام‌های اصل- بنیاد (axiomatic) درآورد و از ریاضیدانان تا فیلسوفان را وادار کرد در مورد این ورطه اسرارآمیز و نویافته که به‌طور برگشت‌ناپذیری اثبات‌پذیری را از صدق جدا می‌کرد، بیندیشند. بر این اساس، پس از گودل روشن شد هنر تفکر ریاضی را نمی‌توان با ماشینی‌کردن تفکر ریاضی یکی کرد. پس از گودل تصور از ریاضیات و اساس «صدق» تغییر کرد.
تخیل عقل یا دقیق‌تر شور منطقی عنصر اصلی کار ریاضیدانان است. کار آنان همان چیزی است که در یک شعر یا انقلاب راستین رخ می‌دهد. کورت گودل بی‌تردید یکی از آنهاست که نبوغ و البته شخصیت کافکایی‌اش با اثبات دو قضیه پرآوازه‌اش سرنوشت ریاضیات و منطق را در قرن بیستم تغییر داد. در سال‌های اولیه انتشار مقاله تاریخی او تنها معدودی از نابغه‌های هم‌نسلش از جمله فون نویمن و تورینگ ارزش و اهمیت آن را درک کردند اما امروزه دیگر قضایای او فاکت‌هایی کاملا پذیرفته‌شده است. پیامدهای فلسفی اثر او در طیف وسیعی از رشته‌ها از فلسفه ذهن گرفته تا هوش مصنوعی همچنان محل بحث و مناقشه است. تقریبا یکی دو دهه پس از انتشار مقاله انقلابی گودل کم‌کم مشخص شد به آثاری نیاز است که بتواند ایده‌های اصلی و نتایج پردامنه قضیه‌های گودل را برای مخاطبان علم منطق و ریاضیات تبیین کند. کتاب «اثبات گودل» (1985) از نخستین آثاری بود که شرح قابل‌فهمی دراین‌باره ارائه می‌کرد. این کتاب بخش اول از کتاب «قضیه گودل» است که به زبانی تا جای ممکن آسان‌فهم، قضیه «ناتمامیت گودل» را توضیح می‌دهد. بخش دوم این کتاب نیز حاوی چهار مقاله درباره شخصیت و زندگی گودل، دوستی او با اینشتین، قضیه ناتمامیت و خدمات علمی اوست که در قرن جدید و برای مخاطبانی عام نوشته شده‌اند. این کتاب مهمی است، از این باب که اگرچه مقاله تاریخی گودل مهم‌ترین اثر اوست، خدمات علمی گودل منحصر به آن نیست، چون قضایای گودل محدودیت‌های بنیادینی بر ریاضیات گذاشت و ضربه‌ای مهلک بر دنیای ریاضی و علوم وابسته به آن وارد کرد. قضایای او باور گسترده‌ای را واژگون کرد که ریاضیات را نظامی همساز و کامل بر پایه یک تک‌بنیاد منطقی می‌دانست. این واژگونی به سرعت از فلسفه تا سیاست را دربر گرفت. آنچه این روزها با عنوان امر تصمیم‌ناپذیر در ساحت سیاست مطرح می‌شود، برگرفته از همین نظریه است. ازاین‌رو، نخست باید نشان داد قضیه گودل چیست یا به عبارت بهتر درباره چیست؟ گودل در فضای ریاضیات عصر خود غرق بود که مشخصه اصلی آن شور و شوق برای صوری‌کردن بود. مردم متقاعد شده بودند که می‌توان از طریق قوانین محض دستکاری نماد به تفکر ریاضی دست یافت. اوج این جنبش را می‌توان در سه‌جلدی ماندگار راسل و وایتهد به نام «پرینکیپیا ماتماتیکا» (مبادی ریاضیات) دید. آنها بر این باور بودند که ریاضیات را بر منطق محض پایه‌گذاری کرده‌اند و اثر آنها برای همیشه بنیادی استوار برای تمامی ریاضیات ساخته است. یکی، دو دهه بعد گودل به این تصور اصیل شک کرد. او در مطالعه الگوهای نمادها در این سه‌جلدی متوجه شد که این الگوها بسیار شبیه به الگوهای عددی هستند و او می‌تواند هر نماد را با یک عدد جایگزین کند و تمام «پرینکیپیا ماتماتیکا» را نه به‌مانند جابه‌جایی نمادها بلکه همچون محاسبه سریع اعداد از نو بفهمد. این پیچش موضوع، سرانجام غیرمنتظره‌ای داشت. چون در نظر گودل یادآور پارادوکس قدیمی خودارجاعی بود، یا همان گزاره «این حکم نادرست است». پارادوکسی که قدمت آن به یونان باستان و به مواجهه مخالفان سقراط با او در تبیین علم منطق به‌عنوان روشی برای فکرکردن درباره حقیقت بازمی‌گردد. فرم این پارادوکس به این شکل صورت‌بندی می‌شود: «این جمله غلط است»؛ اگر این جمله درست باشد پس باید غلط باشد و اگر غلط است پس باید درست باشد. گودل در مواجهه با همین پارادوکس‌ها بود که نتیجه گرفت می‌تواند از اساس یک صورت‌بندی از «پرینکیپیا ماتماتیکا» ارائه دهد که به شکل غیرمعقولی درباره خودش گفته باشد: «این صورت‌بندی از طریق قاعده‌های پرینکیپیا ماتماتیکا اثبات‌ناپذیر است». صرف‌نظر از چنین صورت‌بندی غریبی، بنای راسل و وایتهد کاملا تهدید شده بود. چون هدف آنها حذف مطلق دور باطل بود و باور داشتند که نبرد را با پیروزی به پایان رسانده‌اند. حال آنکه به نظر می‌رسید دورهای باطل از در پشتی به دنیای بکر آنها وارد شده است. اما صورت‌بندی ویرانگر گودلی باید حل می‌شد و او با نبوغ خود این کار را به انجام رساند. او اثبات کرد اگرچه صورت‌بندی‌اش همچون یک پارادوکس است، اما به شکل ظریفی با آن تفاوت دارد. او نشان داد حکم صادقی وجود دارد که با استفاده از قاعده‌های این نظام اثبات آن امکان‌پذیر نیست. به عبارت دیگر حکم صادقی که اثبات‌‌ناپذیری آن دقیقا از صدق آن ناشی می‌شود. او با این شیوه نه‌تنها دژ راسل و وایتهد را ویران کرد، بلکه می‌توان این قضیه را درباره هر نظامی که تلاش کند به اهداف آنها دست یابد نیز صادق دانست. در حقیقت، گودل امید آنانی را ناامید کرد که باور داشتند اندیشه ریاضی را می‌توان به انقیاد صلابت نظام‌های اصل- بنیاد (axiomatic) درآورد و از ریاضیدانان تا فیلسوفان را وادار کرد در مورد این ورطه اسرارآمیز و نویافته که به‌طور برگشت‌ناپذیری اثبات‌پذیری را از صدق جدا می‌کرد، بیندیشند. بر این اساس، پس از گودل روشن شد هنر تفکر ریاضی را نمی‌توان با ماشینی‌کردن تفکر ریاضی یکی کرد. پس از گودل تصور از ریاضیات و اساس «صدق» تغییر کرد.